Vamos a intentar resolver esta cuestión del por y el que cuando aparecen en la misma frase, a veces juntos y a veces separados, sin tilde en unos casos y en otros con ella.
-Porqué: Es un sustantivo que equivale a causa, razón o motivo. Si podemos sustituirlo en una frase por cualquiera de esas tres palabras, es que va junto y con tilde. Ejemplos: El porqué de las cosas/La causa de las cosas; El porqué de su bajo rendimiento/La causa de su bajo rendimiento; No vino porque no quiso/*No vino el motivo no quiso; ¿Por qué no vino?/*¿El motivo no vino?
-Porque: Es una conjunción. Sirve para dar respuesta a preguntas hechas con ¿por qué? y para explicar la causa de cualquier hecho o decisión. Ejemplos: ¿Por qué no viniste? Porque no tenía ganas; Juego siempre porque soy el mejor. A veces esta conjunción tiene valor final (cuando se puede sustituir por para que) y entonces puede escribirse también en dos palabras: Haré lo imposible por que (para que) no muera.
-Por qué: La preposición por unida al interrogativo o exclamativo qué. Sirve para interrogativas y exclamativas directas o indirectas. Ejemplos: ¡Por qué caminos nos llevó!; ¿Por qué no quieres venir?; Te pregunté hace un momento por qué no pagas a mi padre.
-Por que: Aquí pueden darse dos casos. El primero es preposición por más pronombre relativo que. Es raro verlo, lo más común es que aparezca con el artículo antepuesto, pero es correcto. Ejemplo: El camino por que vinimos se ve desde el tren/El camino por el que vinimos se ve desde el tren.
El segundo caso implica verbos, sustantivos o adjetivos a los que añadimos un complemento utilizando la preposición por, más una frase subordinada introducida por que. Ejemplos: Se decantaron por que lo tiñera de rojo; Están locos por que el azul se ponga de moda.
Nota: Mil perdones si nos hemos puesto demasiado técnicos, no hemos sabido simplificar más.